Dienstag, März 3

216/123

Aus einer Prüfungsnachbesprechung zur kombinatorischen Wahrscheinlichkeitsrechnung: In einer Kiste liegen drei Äpfel, vier Bananen und fünf Orangen. Eine Frucht wird zufällig ausgewählt und dann wieder zurückgelegt. Alle Früchte werden mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen. Dies wiederholen wir ein zweites und drittes mal. Wie groß ist die Wahscheinlichkeit, dass wir drei mal die selbe Art von Frucht gewählt haben. Das korrekte Ergebnis ist (33+43+53)/123=216/123.

Die meisten Studierenden haben dies auch in der Prüfung geschafft. Dann war aber Endstation. An der ohnehin sinnlosen Rechnung 123=1728 sind ein weiteres Drittel gescheitert. Und den Bruch 216/1728 in gekürzter Form anzugeben haben am Ende genau 2 von 36 Studierenden geschafft. Allerdings nur nach zeitverschwenderischen Rechnungen.

Nachdem die Zahl 12 in seiner Primfaktorzerlegung 2⋅2⋅3 ist und 216 sich einfach schrittweise zerlegen lässt in 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3, erhalten wir ohne weitere Mühe
216/123=2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3/(2⋅2⋅3⋅2⋅2⋅3⋅2⋅2⋅3). Diesen Bruch kann man sofort kürzen und das Ergebins ist die Wahrscheinlichkeit 1/(2⋅2⋅2)=1/8. Das heißt, im Schnitt ziehen wir bei einem von acht Versuchen drei verschiedene Früchte aus der Kiste.

Diese Botschaft schlägt ein wie ein Bombe. Mit großen Augen starren die Studierenden an die Tafel. So viel Magie auf einmal hat man im Zeitalter der Taschenrechner noch nicht gesehen. Selbst der Student, der gelegentlich Fragen zu nicht-Lebesgue-messbaren Mengen stellt, ist sichtlich angetan davon, wie man hier ohne Rechenaufwand zum richtigen Ergebnis kommt. Wenn ich nur mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und Binomialverteilungen ähnlich viel Eindruck machen könnte wie mit dem Kürzen von Brüchen.

Die Dame, die noch vor ein paar Tagen Probleme mit Äpfeln, Birnen und der Anzahl von Getränken im Kaffeehaus gehabt hat, erreicht diesmal 13 von 14 Punkten. Und so zeigt sich wieder einmal, dass wir alle das Potential dazu haben, erfolgreich zu lernen und zu verstehen, wenn wir nur entsprechen hart arbeiten. Eine Botschaft, die in den USA populärer ist als in Österreich.

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